Su AMD dovevi cercare per Radeon HD 6000, purtroppo non sono più supportati da AMD che si è fermata a Ubuntu 15.04 per i driver proprietari.
Sul driver Radeon se dai da terminale man radeon credo tu possa configurarlo ma non ho capito se tu hai come driver radeon oppure amdgpu
Ti potresti leggere tutte le pagine della wiki di Ubuntu anche in inglese.
Poi so che esistono dei PPA per driver alternativi ma ne ho sempre sentito parlare male e io non l'installerei.
Un dubbio sei sicuro di non avere installato un vecchio driver proprietario che confligge con quello open source?
Non è che la macchina è particolarmente vecchia e faresti bene a passare a Xubuntu?
Guarda questi
consigli per velocizzare